Brady Shaw 1992. október 2-án született Ottawában, édesapja, az NHL-ben is szereplő Brad Shaw nyomdokain indult el. Junioréveit Kanadában és az Egyesült Államokban töltötte, majd a Surrey Eagles-szel bajnoki címet nyert a BCHL-ben. 2013 és 2017 között a vermonti egyetemi csapat meghatározó tagja volt az NCAA-ben, ahol négy idény alatt 77 pontig jutott.

Első profi szezonját az AHL-ben kezdte, majd az ECHL-ben a Colorado Eagles játékosaként Kelly Kupát nyert. Később a Fort Wayne Kometsnél és több AHL-es klubnál is megfordult, mielőtt 2020-ban Európába igazolt. Dániában az Esbjerg Energy színeiben azonnal berobbant: az alapszakasz gól- és pontkirálya lett.

Ezt követően két szezont játszott az ICEHL-ben, előbb a Fehérvár AV19, majd a HC Innsbruck mezében. Utóbbinál a liga egyik legnagyobb sztárjává vált: gól- és pontkirályi cím, All-Star tagság és MVP-díj is a nevéhez fűződött, csapatát pedig a Bajnokok Ligájába segítette.

2023 végén a francia élvonalbeli Angers-hez szerződött, ahol hamar vezéregyéniséggé vált. Az alapszakaszt 60 ponttal zárta, a rájátszásban pedig a legtöbb gólt és pontot szerezte, 2025-ben pedig Francia Kupa-győzelmet ünnepelhetett.