Baráth Péter 2002. február 21-én született Kisvárdán. A középpályás a szülőhelyétől délre fekvő Gyulaházán kezdett el focizni még 2008-ban, majd 2015-ben került a Kisvárda akadémiájára. 2016-ban jött az újabb váltás a fiatal focista életében, ekkor csapott le rá ugyanis a Debreceni VSC, ahol a korosztályos csapatokat végigjárva 2020 januárjában felkerült a felnőttek közé, és az Újpest ellen 4-0-ra megnyert bajnokin be is mutatkozhatott a hétszeres magyar bajnok együttesben, amelyben még további hat találkozón jutott szóhoz.

A következő idényben már alapemberré vált a hajdúságiaknál, ezt jól mutatja, hogy 22 bajnokin öt góllal és négy gólpasszal vette ki a részét abból, hogy a DVSC visszakerült az NB I-be. A 2021/2022-es szezonban Baráth Péter 32 találkozón kétszer talált az ellenfelek kapujába, négyszer pedig az előkészítésben jeleskedett. A két találatot ráadásul egy meccsen érte el a Gyirmót ellen, még 2022. április 15-én.

A jelenlegi szezonban 15 összecsapáson két gól és három gólpassz áll a neve mellett, összességében pedig 83 mérkőzésen kilenc góllal és 12 gólpasszal zárta a debreceni időszakát. Az idei évadban a Honvéd, valamint az Újpest kapuját vette be.

Baráth Péter remek, egyenletes teljesítményéből nemcsak a DVSC, hanem a magyar utánpótlás-válogatottak is profitáltak az elmúlt években, hiszen a 20 éves játékos lábában összesen 22 mérkőzés van a korosztályos nemzeti csapatokban, sőt, 2022. november 7-én a Luxemburg elleni felkészülési mérkőzésen Marco Rossi felnőtt válogatottjában is bemutatkozhatott. A fiatal labdarúgóban rejlő potenciált a pályán mutatott teljesítménye mellett mi sem bizonyítja jobban, minthogy 2022-ben a RangAdó Gálán „Az idény felfedezettje” elismerést ő kapta meg, ahogy az adott idény legjobbjának járó vándordíjat, a Zilahi-díjat is, amit korábban olyan DVSC-játékosok vehettek át meg, mint a korábban az FTC-t is erősítő Tőzsér Dániel, a sokszoros magyar gólkirály Adamo Coulibaly, illetve a klub két legendája, Sándor Tamás és Halmosi Péter.

A 2022/23-as szezonban tagja volt a 34. bajnoki címet megszerzett csapatnak.