Veljko Birmancsevics 1998. március 5-én született a szerbiai Szabácson. Ifjúsági labdarúgóként 2010 és 2016 között megfordult a Stevan Cele Vilotic, az OFK Sabac, és a belgrádi Partizan gárdájánál is, végül utóbbi lett első profi klubja.

Profiként kezdetben szerb klubokban szerepelt, a Patrizantól kölcsönvette az FK Teleoptik Zemun, a Rad és a Csukaricski is. Utóbbi színeiben kapta a legtöbb lehetőséget, 2018 és 2021 között 83 tétmérkőzésen 15 találat és 16 gólpassz a mérlege. Érdekesség, hogy az akkoriban a szerb utánpótlás-válogatottakban is számításba vett labdarúgó neve már ekkor felmerült a Ferencvárossal kapcsolatban. A szerb játékos pályafutásában azonban nem Magyarország, hanem Svédország lett a következő állomás, 2021-ben a Malmőhöz került. A svédeknél eltöltött másfél év alatt Birmancsevics 73 tétmeccsen 29-szer volt eredményes, és játszott az UEFA Bajnokok Ligája főtábláján is.

Malmőből 2022 szeptemberében a francia élvonalbeli Toulouse csapatához szegődött, ahol 30 találkozón bizonyíthatott – egy-egy gól és gólpassz került a neve mellé. A franciáktól 2023-ban előbb kölcsönbe, majd egy évvel később végleg a Sparta Prahához került, akinek értékét 2024-es klubváltásakor 9 millió euróra taksálta a Transfermarkt. A Sparta színeiben 109 tétmérkőzésen 37-szer talált az ellenfelek kapujába, emellett 21 gólpasszt is kiosztott. A csehekkel a BL-ben, az Európa Ligában és az Európa Konferencia Ligában is megmérethette magát az évek során.

Birmancsevics Prágából a spanyol első ligás Getafe csapatához került kölcsönadás keretében 2026 februárjában, ám a La Ligában mindössze hat bajnokin jutott szóhoz, majd ezen a nyáron visszatért a Spartához, ahol nem számoltak vele kerettagként.

Veljko Birmancsevics cseh, szerb, svéd és francia kupagyőztes, emellett 2021-ben a Malmö, 2024-ben pedig a Sparta Praha játékosaként nyert bajnokságot. Szerbia válogatottjában először 2021-ben léphetett pályára, azóta 17 válogatottsággal büszkélkedhet. A 2024-es, németországi rendezésű Európa-bajnokságon Anglia és Szlovénia ellen is pályára lépett.

A Ferencváros színeiben eddig 1 mérkőzésen játszott.