Burián Katalin 2001-ben, mindössze hatéves korában kezdett úszni a Jövő SC együttesében, majd 2012-ben edzőivel, Virth Balázzsal és Széles Sándorral együtt az Újpesthez igazolt. Két évet töltött a negyedik kerületben, majd újabb két évvel később a kecskeméti Bácsvíz KVSC-nél folytatta pályafutását, ahol Törös Károly volt az edzője. A 2016-os, Rióban megrendezett ötkarikás játékokra utazó keretbe annak ellenére sem került be, hogy megúszta az olimpiai szintidőt. Még ebben az évben átigazolt az Egri Úszó Klubba, majd 2019-től a BVSC-t erősítette.

Burián 2014 és 2017 között a felnőtt, országos bajnokságokon eddig összesen 14 aranyérmet szerzett az 50 méteres medencében. A 2016-os úszó-Eb-n, Londonban 200 méteres hátúszásban a negyedik lett. Egy évvel később a hazai rendezésű világbajnokságon 200 méteres hátúszásban a 10. lett, de tagja volt az új országos csúcsot úszó 4x100 méteres vegyes váltónak.

Első nemzetközi érmét a 2018-as úszó Eb-n, Glasgowban szerezte, amikor 200 háton harmadikként léphetett fel a dobogóra. Három évvel később bővítette nemzetközi éremgyűjteményét, ugyanis a Budapesten rendezett Európa-bajnokságon ismét bronzérmet szerzett. A 2021-es tokiói olimpián 100 méteres hátúszásban nem jutott a döntőbe, összesítésben a 18. helyet szerezte meg az ötkarikás játékokon, míg 200 háton a 10. helyen zárt. Az olimpia után Grátz Benjámin vette át az edzési irányítását. A novemberi rövid pályás Európa-bajnokságon 200 méter háton döntőt úszott, ám később pozitív koronavírus tesztet produkált, emiatt pedig végül nem állhatott rajtkőre a többi versenyen.

Ügyvezető alelnökünk, Nyíri Zoltán szerint Burián Kata személyisége és a klubunk szellemisége egymásra talált.

- Kata igazi fradista jellem, igazi nagy harcos. Az ő pályafutásában sok volt a bökkenő, az akadály. Ezeket ő mind-mind hatalmas akarattal leküzdötte, szóval nagyon hamar kiderült, hogy ő egy igazi Fradi-karakter - mondta Nyíri Zoltán.

- Úgy alakult, hogy klubot kellett váltanom és a Fradinál tárt karokkal vártak. Úgy gondolom, hogy jelenleg Magyarországon a Ferencváros tudja a legjobb feltételeket biztosítani egy sportolónak a felkészüléshez - nyilatkozta Burián Kata a FradiMédiának.